Soit \(n\) un entier strictement supérieur à \(1\)
Soit \(A\) une matrice \(n\times n\) telle que \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq0\)
Soit \(x_0\) un vecteur de \({\Bbb R}^n\) tel que \(A^{n-1}x_0\neq0\)
Montrer que \((x_0,Ax_0,A^2x_0,\ldots,A^{n-1}x_0)\) est une base de \({\Bbb R}^n\)
Comment s'écrit la matrice \(A\) dans cette base ?
Initialisation du raisonnement par l'absurde
Il faut vérifier l'indépendance linéaire
Soient \(a_0,\ldots,a_{n-1}\in{\Bbb R}\) tels que \(a_0x_0+a_1Ax_0+\ldots+a_{n-1}A^{n-1}x_0=0\)
Montrons que \(a_0=a_1=\cdots=a_{n-1}=0\)
On multiplie par \(A^{n-1}\) : $$a_0A^{n-1}x_0+a_1A^nx_0+\ldots+a_{n-1}A^{2n-2}x_0=0$$ or, d'après l'hypothèse, \(A^k=0\quad\forall k\geqslant n\)
On a donc $$a_0A^{n-1}x_0=0$$
Puisque \(A^{n-1}x_0\neq0\), on a \(a_0=0\)
On recommence pour chaque élément de la somme en enlevant le premier terme (puisqu'on a montré que \(a_0=0\))
On a montré que les \(x_0,\ldots,A^{n-1}x_0\) sont indépendants
Comme leur nombre est \(n=\operatorname{dim}{\Bbb R}^n\), ils forment une base
Si \(P=(x_0,Ax_0,\ldots,A^{n-1}x_0)\), la matrice de passage est : $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\ 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccc|c}0&\cdots&\cdots&0\\ \hline&&&\vdots\\ &I_{n-1}&&\vdots\\ &&&0\end{array}\right)$$